随着数学学科实施素质教育改革的逐步推进，小学数学教学改革，应不单是“表面”的“轰轰烈烈”，而应在现代教育观的指导下“扎扎实实”地有“质”的体现。为此，要从面向全体全面提高学生的素质的高度来指导小学数学教学。本文拟从数学直觉的角度培养学生的直觉能力，从而对人全面发展的素质的影响进行剖析和研讨，使小学数学教学为素质教育提供可参考、可指导、可操作的理论和方法。在此重点论述：运用直觉理论，指导小学数学教学，培养学生的直觉能力，提高学生整体素质。
一、直觉理论对小学数学的指导意义
1、直觉与数学直觉
人们常说“凭‘直觉’怎么样……”，那么，何谓直觉？从古到今，人类对“直觉”进行着长期的研究，古代柏拉图认为“直觉是人类智慧的最高层次”。到了二十世纪中叶，布鲁纳指出“直觉思维是解决问题的一种技巧”，他认为“有些问题用分析思维去解决十分困难，而用直觉思维却轻而易举地可以得到解决”。随后的心理学家也对直觉思维作了如下论述“直觉思维是以熟悉涉及到的知识领域及其结构为根据，使思维者有可能实行跃进、越级，以及采取捷径”。笔者认为：直觉是没有经过逻辑推理的跨跃式的快捷的直观感觉，它是以已获得的知识、累积的经验，自身的能力为基础，是迅速解决当前课题的“闪电式”的第一印象，其犹如漆黑的夜晚凌空划过的一道闪电所发出的光亮一样，快速产生，能量强大，一下就“征服了”黑夜，给人印象深刻。以上这些理论依据对我们深刻理解直觉的涵义和价值，进一步研究小学数学中直觉的意义，从而指导小学数学教学，推进素质教育的广泛深入的开展，提供了一个崭新的平台。
关于数学直觉，法国著名科学家庞家莱认为“数学直觉是对抽象的数学对象的一种非同寻常的洞察力”，“如果一个学生在解决数学新问题时能够对它的结论作出直接的迅速的领悟，那么我们就应该认为这是数学直觉”。数学直觉能使我们“在解数学题时，主体在明了题意并抓住题目条件或结论的特征之后，往往一个念头闪现就描绘出了解题的大致思路。”结合教学实践，笔者认为数学直觉是否可以这样定义：数学直觉是在对数学知识的学习，数学问题的发现，解决的过程的突然领悟。
2、意义
首先，直觉理论能有效改变我们的教育观念，心理学研究表明“小学生思维的基本特点是：从以具体形象思维为主要形式，逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式”。但是，学生在数学学习过程中，往往有一种既非逻辑思维，也非形象思维的思维形式被我们所忽视，表现为对正在学习的内容的快速地直接地感觉或把握，这就是直觉思维。庞加莱强调直觉对数学学习的重要性“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力。”通过笔者的教学实践，更是觉得，没有直觉，学生就不可能较好地学习数学。例如：对一道判断题的正确判断，部分学生既非步步为营推出结果，也非借助图解等形式进行分析判断，只是“直觉地”认为应该是怎样的，在这一瞬间，学生有可能既说不清这一结果的来历，也不知道这一结果为什么应该是这样的，他们的常用语是“我觉得”、“我认为”、“我知道怎样做了”、“哇！看我的！”、“哈哈！是这样的！”等等。这一思维形式是小学生数学学习常用的思维形式，而又是我们常常容易轻视和忽略的思维形式。由于小学生的生理心理特点，其逻辑思维能力较差，导致小学生的数学学习是以形象思维为起点的，但数学知识又是抽象的，所以，必须要有另外一种思维方式，即直觉思维，其对小学生学习数学可谓“帮了大忙”。因此，直觉思维是形象思维、逻辑思维的必要补充，是小学数学学习的重要方式之一。
长期以来，人们很重视逻辑思维的培养而忽视直觉思维训练。例如：在学生学习用“凑 十法”计算20以内的加法时，很多老师不厌其凡地反反复复地让学生叙述“ 凑 十”的计算过程，并千篇一律按一个思维模式训练。此番训练单调乏味：计算8+5，把5分成2和3，8加2得10，10再加3得13，所以8+5=13。像这样单调、枯糙、乏味、机械重复的逻辑思维训练尤如让学生过“独木桥”，虽对培养学生逻辑思维有一定的作用，但其消极作用也不容忽视，表现在：其一，根据对小学生的生理心理特点的研究，这种训练难以激发小学生的学习兴趣。其二，没有体现真正把学生当学习的主体这一精神，也不利于因材施教。其三，学生思维受到禁锢，不利于创新思维的培养。在以上的学习过程中出现了以下一些算法：5+5+3=13，8+4+1=13，8+10-5=13，5+10-2=13……当问他们为什么这样算时，多数学生说“我觉得可以这样算”，“我想应该这样算”。再例如：在解答一道难题时，有的学生能很快地得出一种解答方案而有可能说不出原因，但他们能坚持己见，充满自信，并能迅速地投入到维护自己解答方案的原因的探索中。这就是直觉及其所发挥出来的作用，这正如庞加莱所称的直觉能“第一次出击就迅速达到了‘征服’的目的”，“它的某些细节甚至可能是模糊的，但是，它却能清楚地表明了事物的‘本质’或问题的‘关键’”。这正如猛兽出其不意地迅速出击而征服猎物一样，其过程是快捷的、短暂的，而又是极具爆发力的，其正确度也是比较高的。数学学习，尤其是逻辑思维训练，相对来说比较单调、枯燥、抽象，容易使学生产生厌学和畏难情绪，而直觉思维则能使学习者先跨越一步一步的按部就班地分析的过程，跨越抽象的过程，跨越学习中遇到的障碍，并采取捷径，它见效快，切中要害，直达目的而使学生获得成功，然后再倒过来进行逻辑分析，从而有效增强学生学习数学的自信心。这正如波利亚所描述的那样“一个突然产生的，展示了惊人的新因素的想法，具有着一种令人难忘的重要气氛，并给人以强烈的信念。这种信念常表现为诸如‘现在我有了’、‘我求出来了！’、‘原来是这一招！’等惊叹。”实践表明：数学直觉能减轻小学生对抽象的数学学习的畏惧感，使学生能较快学会有关数学知识而产生成就感，增强学生学习数学的信心，激发学生学习数学的兴趣。因此，笔者认为：在教给学生必备的基础知识以后，我们应该允许学生根据自己的情况选择适合自己的思维方式，包括直觉思维、逻辑思维、形象思维等。这就好比精明的做小吃的商家总是先精心配备好食品，然后提供尽可能齐全的佐料供消费者根据自己的口味自行调配佐料而倍受顾客欢迎，在每一位顾客获得满足的同时，商家也得到了丰厚的利润。通过笔者多年的教学发现：经常用直觉思维的学生学习成绩都比较好，他们遇事有主见，思维更敏捷、灵活、更具创造力。所以，直觉理论对小学数学教学的思维训练提供了更为广阔的空间，我们应改变只重视逻辑思维的过“独木桥式”的学习方式，构建由直觉思维、逻辑思维，形象思维等在内的“立交桥式”的学习方式。
其次，直觉思维训练对培养学生创新意识与创新思维具有重要作用。全日制义务教育《数学课程标准（实验稿）》明确地把培养学生“初步的创新精神”纳入义务教育阶段数学学习的总体目标之中。在谈到直觉对创新能力培养时，庞加莱指出“如果直觉对学生是有用的，那么对有创造性的科学家来说，它更是须叟不可或缺的……其成功之大小取决于这种直觉在他们身上发展的程度的大小”，他接着指出“直觉是发明的工具”。小学数学教学的目的虽然不是使每一个人成为有创造性的科学家，但是培养具有创新意识的公民却是我们每一位教育工作者义不容辞的责任。长期以来，我们对学生创新精神的培养没有得到应有的重视，现实生活中，有很多事情不是我们办不到，而是我们想不到，既不具备创新意识，这影响了我们创新思维的发展，究其原因，与我们平时的教学不无关系。常有这样的情况，学生用不同方法完成了一道题，因老师要求其讲出算理，但这一部分凭直觉解出来的、极富创意的解法，学生却有可能说不出算理，于是被判“×”，学生不服气，“老师，我这是正确的”，“为什么要这样做？说不出原因和理由就是错的！”学生遭此“闷棒”，于是乎，对自己的直觉产生怀疑，久而久之，他们不敢相信自己的直觉，不敢相信自己的判断，他们变得小心翼翼，不敢对当前出现的现象作出判断，随后也不能对新事物作出判断，而变得麻目不仁，长此下去，直觉思维被打入“冷宫”，像这样所培养出的“人才”，还谈何具有创新精神？而当学生能用直觉思维进行数学学习时，情况则完全不同，这些学生能迅速进入主题，他们常凭自己的直觉理解知识或得出与众不同的见解以及解答方案，他们能对新事物迅速作出判断并及时采取应对措施，他们常乐于表达自己的独特想法并形成习惯，长此以往而独具创新意识，其创新能力也得以稳步提高。
实践表明，我们没有必要事事用逻辑思维思考问题，学生在学习过程中，对概念的掌握、对题目的解答，对方法的领悟，很多不是凭借直觉思维解决的吗？许多伟大的发明不也是凭直觉而产生的吗？不是有“直觉性猜想”吗？现实生活中对许多工作的完成，许多事情的处理，特别是紧急情况的快速的正确的决策等等，不是有很多都是直觉思维的功劳吗？所以，我们没有必要事事步步为营，也没有必要事事先证明，等其完全正确了才去应用它。事实上，实践才是检验真理的唯一标准，长期以来，不是许多观点的提出，课题的解决，都是在先提出方案，然后再边实践，边总结，边证明，边完善的吗？甚至有提出的观点到如今也没有得到证明的也不少，例如著名的“歌德巴赫猜想”、“费马猜想”、“孪生素数猜想’等，不也只是一个猜想而未被证明吗？但这不照样征服了人类吗？何况我们的数学学习呢？所以在提倡创新思维的今天，在社会飞速发展的今天，重提直觉思维、重视直觉能力培养，不就显得更加迫切和重要吗？
二、直觉能力在全面提高素质中的地位作用
直觉理论和能力，不仅在学生学习数学方面，它对于人才培养和提高人的整体素质也有重要的作用。在各行各业中，注意充分挖掘和运用直觉理论，进一步调动和捕捉直觉瞬间，培养高层次的直觉能力，从而获得更加快捷的人才效应。例如：修理工对汽车声音和零件成色作出的准确判断；人们在选购服装时对服装的款式、色彩、大小等的直觉反映；农民对气象、作物的预感；部队指挥员的临阵指挥，决胜千里之外的判断；公司决策人员对市场前景的预测；评委专家的现场评判；艺术家的即兴指挥；指挥家在台上潇洒自如、独具特色的现场指挥；学生对某一道题的快速反映作答……无不体现了直觉能力的作用。因此，是否可以这样说：人人有直觉、处处有直觉、时时有直觉、事事有直觉，直觉能力强的人也是高素质的各行各业的领尖人才。在教学中发现，儿童的直觉虽幼稚但不乏有其理智的成份，虽“命中率”不是很高却“胆大”而充满自信，虽然持续时间比较短，但却经常发生，虽经常不能说出原因与道理但却常“坚持己见”，这说明儿童的直觉不能等同于一般成人、专业人员以及高层次的“专家”的直觉，但却是高层次直觉的萌芽。高层次的直觉能力并不是先天就有的，以数学直觉为例，徐治利教授指出“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的”，布鲁纳提出“怎样才有可能从最早年级起便开始发展学生的直觉天赋”。由此可见，只要我们提供必要的“平台”，给予学生适当的空间，采用恰当的方法，学生的直觉能力就能得到不断的提高，从而向高层次的直觉过渡。根据数学在义务教育阶段的地位与作用，数学在小学生学习中的课时比例，以及数学在日常生活中的广泛应用等，导致小学数学教学是培养学生直觉意识、训练直觉思维、发展直觉能力的重要而有效的“平台”，因此在小学数学教学中，应重视直觉思维训练，使学生随着年龄的增长、能力的提高，他的直觉能力也愈强，从而达到提高学生整体素质的目的。
三、直觉思维训练应注意的原则
1、选择内容的广泛性原则
深入挖掘教材中与生活中直觉思维与创新能力培养的素材，让学生受到更多的锻炼。这一过程可以是对教材的处理，对教材的再创造，以及对日常生活中的数学问题的猜测、验证等。
2、数学过程的体验性原则
在数学学习的过程中，注意提供具体的情景，引发学生的大胆的直觉猜测，并作出合理的推理。参与生活中的数学生成、抽象成新的知识的过程，了解数学的产生、作用和价值，减少数学的神秘感，从而能学数学，会学数学，爱学数学。
3、教学时间的经常性原则
直觉思维训练应坚持尽早训练，经常训练，持续训练，并加以精心的呵护，以使学生从小具有直觉意识并使之形成习惯，直觉思维得以不断训练，直觉能力得以稳步而健康的发展，从而为培养创新型人才打好基础。
4、多元评价的科学性原则
数学新课标（实验稿）指出“评价的主要目的是为了全面了解学生的学习过程，激励学生学习……”。对于学生的正确猜测应给予关注和鼓励；对于错误的猜测也要对学生指出：能够大胆猜测就很了不起了，并让学生知道错误也是学习的一种方式，推翻错误的猜测也是一种能力，通过错误，探索出本质的过程才是学习的关键，从而让人人能在数学学习中得到不同的发展。
四、运用直觉理论，培养直觉能力
在运用直觉理论培养学生直觉能力时，应从以下几方面入手。
1、摆正形象思维、逻辑思维、直觉思维三者的关系。
数学直觉最主要的特征就是“非逻辑性”，表现在其发生时间的不可预见性，发生过程的快速性、飞跃性、跳跃性，以及发生结果的明白性。因此，数学直觉是学生学习数学的“润滑剂”，是数学问题解决的“助产术”。在谈到逻辑思维与直觉思维的关系时，庞加莱写道“一些人尤其专注于逻辑……他们……只是一步一步地前进，这种方法推动他们有步骤地工作，去夺取一个更有利的位置，而没有随便便抛弃任何东西。另一些人受直觉指引，他们像勇敢的前卫骑兵，迅猛出击，但有时也要冒几分风险。”同时他也强调“逻辑和直觉各有其必要的作用。两者缺一不可。唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具，而直觉则是发明的工具”。再根据小学生的生理心理特点，形象思维也是小学生数学学习所不可缺少的，更进一步得出：形象思维、逻辑思维、直觉思维是支撑小学数学教学的“三角架”，只有这三只脚“同心协力”，才能构建小学数学教学实施素质教育的“高楼大厦”。
2、鼓励学生大胆猜测
布鲁纳认为，鼓励学生大胆猜测是培养直觉能力的重要途径之一。数学新课标也指出“能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳，类比与猜测，发展学生初步的合情推理能力”。猜想能诱发解题思路，有利于寻求解题策略，选择解题方法，甚至直接作答或者直接作出判断，所以猜测是小学数学学习的重要学习方式之一。例如：在学习圆锥体积公式推导时，可先让学生猜猜怎样推导，然后出示等底等高的圆柱与圆锥，再让学一猜测其体积关系，最后再验证各种猜测的可能。这样，学生直觉能力得以培养，所学知识印象深刻，达到了较好的效果。因此，在教学过程中，要培养学生敢于猜想，乐于猜想，善于猜想，形成直觉性猜想的习惯，发展学生的直觉思维，以获得创造性思维所具备的基本素质。
3、激发直觉意识，呵护直觉精神，训练直觉思维，培养直觉能力。
（1）提供平台，引发直觉。
在这里，一方面要给学生提供直觉思维生存和发展的空间。即在教学过程中，不管是对教材中新知识的学习，数学学习过程中数学问题的提出，数学难题的直觉性猜测，以及生活中数学问题的解决等，允许学生直觉作答并尽可能引发学生的直觉思维，给予精心呵护，激发学生的直觉意识，从而培养学生的直觉思维。另一方面要给学生以必要的直觉思维得以显现的数学基础知识、数学学习的基本技能、以及数学问题解决的基本方法，以形成直觉思维得以激发的坚强后盾。在教学体积单位的进率时，预先布置学生每人制作棱长1分米的正方体学具，上课用教具在教室一角围出一立方米的空间，然后提问全班50人制作的1立方分米的学具正方体能不能摆满1立方米的空间？让学生凭直觉作答、猜一猜，并大胆作答，看谁能答对或最接近，这样学生的兴趣被调动起来，直觉思维得以激发，纷纷举手作答，有的说能，有的说不能，学生的回答是否正确，再让学生对他们回答的情况举手表决，表决后让他们把自己制作的1立方分米的小正方体拿上去摆一摆，结果一层都没有摆满，究竟要多少个才能摆满呢？可再让学生直觉作答，猜一猜，有的同学说：“紧挨着摆，要几百个吧”，有的同学说：“先一排一排地摆，每一排可以摆10个，第一层可以摆10排，共100个。一层100个，1立方米可摆10层，一共可以摆100×10=1000（个）”还有的同学用1000÷50=20（天），得出每人每天做一个1立方分米的小正方体学具，全班50人要20天才能把1立方米空间摆满。这样，全班学生用直觉思维得到初步的答案，再通过形象思维的操作过程，以及最后用逻辑思维进行分析验证，对体积单位相邻两个单位之间的进率是1000就能很好掌握并记忆深刻而不易忘记，整个过程学生兴趣极浓，收到了较好的效果。
（2）弄通情景，表达直觉。
数学现象的直观感觉是数学直觉思维的源泉之一。在小学数学教学过程中，通过数形结合、实物演示、动手操作、以及深入进去弄通情景等，激发直觉思维，并积极表达自己的直觉思维。在教学圆柱的认识的时候，圆柱上、下底面圆的大小，圆柱侧面沿高剪开的形状，以及圆柱的底面周长与高分别是圆柱的测面沿着一条高剪开，再展开的图形哪一部分等都要求学生先想一想。学生在思考、猜想的过程中，注意弄通圆柱沿着一条高剪开再展开的这一过程情景，即圆柱沿着一条高剪开再展开会是什么形状，以及展开时由曲面将要变成什么面的渐变过程，都是学生需要深入弄通的情景。所以整个过程由学生先想象，再模拟，然后呈现，整个过程需要弄通情景，最后得出合符情理的答案。类似的数学学习，可以培养学生主动通过数形结合、实物演示、动手操作等弄通情景，这样观察、学习、分析数学问题，学生的直觉思维就会得到良好发展。
（3）深入讨论，质疑直觉。
直觉思维具有发生时间的不可预见性，发生过程的快速性与飞跃性，以及发生结果的明白性。在数学学习过程中，加强讨论，通过学生之间直觉思维的碰撞，将会引发新的直觉思维，直觉思维得出的结论是否正确，通过质疑，从而得到新的正确的结论。这一过程，学生的思维是飞速的、跳跃性的、简缩的直觉思维，他们的迅速作出直觉判断的洞察能力得到不断的培养加强。九年义务教育第11册分数乘法应用题第14页例 1“学校买来100千克白菜，吃了4/5，吃了多少千克？”让学生讨论，质疑猜想：书上的例题编错没有？有的同学根据类推猜想，认为这道题问题与这二个条件重复，题目编错了，有的同学直觉地认为书上的例题没有编错，再进一步找出原因：认为吃了4/5，吃了多少千克不知道，所以问题是“吃了多少千克”。让学生进行讨论，通过讨论，全体学生一致认为题目没有编错，“100千克白菜，吃了4/5”，求“吃了多少千克”。就是求“100千克的4/5是多少”，根据一个数乘分数的意义，应该用乘法计算。通过这样教学、学生印象深刻，牢固地掌握了这一部分知识。
（4）加强合作，验证直觉。
直觉思维得出的结论是否正确，需要通过逻辑思维加以验证，由于逻辑思维相对枯糙，因此，根据小学生的生理心理特点，可采用合作等方法进行训练，靠大家的力量验证直觉，逐步过渡到发展每一个人的逻辑思维能力，努力提高学生抽象思维能力，以使学生随着抽象思维的提高而直觉能力也得到稳步发展。分数除法意义的教学由整数除法的意义类推出分数除法的意义与整数除法的意义相同。此时，类比猜想的结论出来了，如何就这一结论进行验证？在教学过程中，把学生每4个分成一个小组，每个小组发几个苹果，然后让学生按要求实验，并完成实验报告。题目要求如下：①每人分半个苹果，4个人一共分几个苹果？②两个苹果，平均分给4个人，每人分得几个？③两个苹果，分给每人半个，可以分给几个人？实验过程中，每4个人的一个小组里有的分苹果、有的列算式、有的根据分的过程得出结果、有的负责报告实验结果。然后全班汇总、验证直觉得出的结论，通过全班的合作，验证了直觉的正确性。这样，学生的形象思维、直觉思维与逻辑思维都得到了较好的发展。
在以上思维活动中，学生由未知到已知，如果通过操作需要经过较长的过程，学生注意力已不能有效保持，兴趣由浓到淡，求知欲逐渐减弱。如果通过计算得出结论，学生不容易理解，并对结论记不牢。而通过让学生以直觉思维的形式，或让学生先猜一猜，这样学生思维活动放开了，他们可以自由地无拘无束地思考，为力争答对、猜对，每个学生都不得不最大限度的开动脑筋，并尽量运用已学过的知识，结合自己的想象力、创造力、迅速作答或大胆猜测，有的答一次不对，答两次、三次……学生的作答，猜测是否正确，激发了学生强烈的求知欲，学生跃跃欲试，此时再通过动手操作、观察想象、讨论、质疑、计算、验证，最后得出正确结论。整个过程学生经历了：问题→思维活动→思维短路→直觉作答、猜测（思维跃进、越级、采取捷径，从而使思维达成通路）→思维活动达到高潮（学生产生了强烈的求知欲）→验证（通过适度操作、观察、想象、计算）→得到正确结论（学生超常思维得到锻炼，求知欲望得到满足，并有了一种成就感）达到了预期的效果。